小学生でも分かる正規分布の話

Since Oct. 2015



 概要

   はじめに
   正規分布の概要
   自然現象の正規分布
   正規分布にならない場合

概要


はじめに


部品の寸法のバラツキ、或いは学内試験における点数のバラツキに関して、正規分布が使われますが、正規分布とは一体何なのでしょう。

ためしにウィキペディアで調べてみると以下の様に書かれていますが、これを読んで分かる人は、恐らく誰もいないのではないでしょうか。

確率論や統計学で用いられる正規分布(せいきぶんぷ、英語: normal distribution)またはガウス分布(Gaussian distribution)とは、平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布である。
中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。
このことにより正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。たとえば実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。
また、正規分布の密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている


という訳で、いつもの様にここでは正規分布とは一体何なのかを、小学生にも分かる様にご説明したいと思います。

正規分布の概要


正規分布を一言で言えば、同じ条件下で得られたバラつきのある数値の発生頻度を調べてみると、中央の値の発生頻度が最も多く、それを中心に対して左右対称で発生頻度が少なくなる(釣鐘状になる)という事です。

これだけでは良く分からないと思いますので、あるクラスにおけるテストの試験結果を例にして説明したいと思います。

生徒40人のクラスで、算数の試験が行われました。

A君は62点、B君は80点、Cさんは75点、D君は40点、、、でした。

これを10点ずつに分類して、それぞれ何人が居るかをグラフ化したのが以下の図です。


完全な左右対称ではありませんが、中央が高く、両端にいく程低くなる傾向は見られます。

このクラスの場合、生徒数は40人でしたが、仮にもっと生徒数が多くなると、最終的にこのグラフは以下の様な釣鐘状の形にどんどん近づいていきます。


これが正規分布です。

それでは何故この様な形になるかですが、実は誰にも分からないのです。

強いて言えば、自然の摂理としか言いようがありません。

自然現象の正規分布


前段では人の試験結果を元に正規分布を見てみましたが、今度は自然現象においても正規分布に成り立つかどうかを調べてみたいと思います。

実は殆どの自然現象が正規分布になる事は分かっているのですが、ここではデータに客観性のある気象庁の公表データを使ってみたいと思います。


上の表は、沖縄の過去62年間の梅雨入りと梅雨明け日を示す表です。

そのうち、今回は梅雨明けの日を元にその頻度(発生回数)を調べてみます。

これを集計してグラフ化したのが以下の図です。


どうでしょう。

綺麗な左右対称とはいえませんが、おおよそ釣鐘状になっているのが分かって頂けるでしょうか。

特に梅雨入り/梅雨明け日については、気象庁が遡って日にちを修正するくらい明確に特定できない所がありますので、この様な形になるのは止むを得ないかもしれません。

なおグラフの中の緑の線は、計算から求めたグラフで、後ほどご説明します。


実験


クラス全員での実験


上記概要を読んでも、まだピンとこない方が多いと思います。

という訳で、次に簡単な実験をやってみたいと思います。

もし全員で40人のクラスがあったとしたら、以下の様にやってみて下さい。

①先ず、先生が時計の秒針を見ながら、1、2、3、4と声を出してカウントし、それに沿ってクラス全員も心の中でカウントして、自分がストップウォッチになった練習をします。

②練習が終了したら、実験の開始です。
先生がスタートといったら、生徒全員は自分がストップウォッチなったつもりで、心の中で秒数をカウントします。

③先生がストップと言ったら、生徒達はカウントを止め、秒数を紙に控えます。
その際、あまり時間が長いとバラつきが大きくなるので、30秒前後が良いかもしれません。

④生徒達の秒数を集計して、ヒストグラムを作成します。

どうでしょう?

だいたい釣鐘状の形状になりましたでしょうか?

これを見て不思議な気がしませんか?




正規分布にならない場合


ここまで分かった所で、今度は正規分布にならないケースを見てみましょう。


正規分布は何の役に立つのか


それでは次に正規分布が何の役に立つかをご説明したいと思います。


正規分布の求め方


正規分布がどう役立つか分かった所で、次にいよいよ正規分布の求め方をご説明したいと思います。







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